<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% pgf-interference package: German manual
% Version 0.1
% 9. Januar 2022
\documentclass{scrartcl}
\usepackage[UKenglish,ngerman]{babel}
\usepackage{pgf-interference}
\usepackage{libertinus}
\usepackage{cnltx-example}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{worldflags}
\usepackage[locale=DE,mode=match]{siunitx}
\usepackage[colorlinks=true,
  allcolors=black,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=0,
  bookmarksnumbered=true,
  pdfencoding=auto,
  pdftitle={Interferenzmuster zeichnen mit pgf/TikZ},
  pdfsubject={Anleitung zum Paket pgf-interference},
  pdfkeywords={latex pgf tikz Interferenz},
  pdfauthor={K. Wehr}]{hyperref}

\definecolor{pgfinterferencered}{wave}{632.8}

\definecolorscheme{pgfinterferencecolorscheme}{cs =&gt; cnltxformalblue,
  option =&gt; cnltxgreen,
  cnltx =&gt; pgfinterferencered}

\setcnltx{add-cmds = {pgfinterferenceoptions,pgfinterferencepattern},
  color-scheme = pgfinterferencecolorscheme,
  add-listings-options = {numbers=none},
  pre-output = {\raggedright}}

\makeatletter
\setlength{\cnltx@before@skip}{5pt plus1pt minus1pt}
\setlength{\cnltx@after@skip}{1pt plus1pt minus1pt}
\makeatother

\selectcolormodel{rgb}

\setmonofont{DejaVu Sans Mono}[Scale=MatchLowercase]

\pgfplotsset{compat=newest}
\usetikzlibrary{angles}

\newenvironment{Befehlsliste}{\begin{list}{}{
  \setlength\leftmargin{0pt}
  \setlength\itemindent{-1em}
  \setlength\parsep{0pt}
  \setlength\listparindent{\parindent}
  \setlength\itemsep{\topsep}}}{\end{list}}

\newcommand*\Befehlsbeschreibung[2]{\item\cs{#1}#2\\}

\newcommand*\Optionsbeschreibung[3]{\item\choicekey{#1}{#2}
  \hfill Voreinstellung:~\code{#3}\\}

\newcommand*\OptionsbeschreibungZahl[2]{\item
  \choicekey{#1}{\meta{Zahl}}
  \hfill Voreinstellung:~\code{#2}\\}

\newcommand*\Paket[1]{\textsf{#1}}
\newcommand\inter{\textcolor{pgfinterferencered}{\Paket{pgf-interference}}}
\newcommand\pgftikz{\Paket{\textsc{pgf}/Ti\textit{k}Z}}
\newcommand\pakettikz{\Paket{Ti\textit{k}Z}}
\newcommand\AutorNachname{Wehr}
\newcommand\AutorVorname{Keno}

\begin{document}

\begin{center}
\fontsize{41}{41}\selectfont\textsc{\inter}

\medskip
\pgfinterferencepattern{}

\LARGE
\rmfamily
Interferenzmuster zeichnen mit \pgftikz

\bigskip
\Large
\textcolor{pgfinterferencered}{Version 0.1}

\medskip
\large
\today

\bigskip
\textit{Paketautor}

\smallskip
\AutorVorname\ \AutorNachname

\bigskip
\textit{Fragen und Fehlermeldungen}

\smallskip
\normalsize
\url{https://codeberg.org/wehr/pgf-interference}
\end{center}

\begin{abstract}
\noindent Mit diesem \LaTeX-Paket kÃ¶nnen Interferenzmuster, die bei Beugung von monochromatischem Licht an regelmÃ¤ÃŸigen Spaltanordnungen auf einem Schirm entstehen, simuliert werden. HierfÃ¼r wird das Graphikpaket \pgftikz\ verwendet.

\medskip
\noindent Das Paket ist noch im experimentellen Stadium. Die Nutzerschnittstelle kann sich in kÃ¼nftigen Versionen Ã¤ndern.

\medskip
\noindent
\worldflag[width=9pt,framewidth=0pt]{GB} \foreignlanguage{UKenglish}{An English version of this manual is available in the file \texttt{pgf-interference-en.pdf}.}
\end{abstract}

\vfill
\tableofcontents

\newpage
\section{EinfÃ¼hrung}
Zu den eindrÃ¼cklichsten Belegen fÃ¼r die Wellennatur des Lichts zÃ¤hlt das Auftreten von Interferenzmustern nach dem Durchgang durch feine Spaltanordnungen. Solche Interferenzmuster werden bereits im Physikunterricht der gymnasialen Oberstufe untersucht.

Da in Physiksammlungen nur ein begrenzter Vorrat an Lichtquellen und Beugungsobjekten zur VerfÃ¼gung steht, ist es wÃ¼nschenswert, auch die Interferenzbilder fÃ¼r WellenlÃ¤ngen und Spaltabmessungen, die nicht experimentell zugÃ¤nglich sind, prÃ¤sentieren zu kÃ¶nnen.
\begin{center}
\pgfinterferencepattern{wavelength=450e-9}

\small
Interferenzmuster fÃ¼r Licht der WellenlÃ¤nge
\qty{450}{nm}
hinter einem Doppelspalt

\medskip
\pgfinterferencepattern{wavelength=550e-9,slits=4,intensity=3}

\small
Interferenzmuster fÃ¼r Licht der WellenlÃ¤nge
\qty{550}{nm}
hinter einem Vierfachspalt

\medskip
\pgfinterferencepattern{slits=1,slit-width=5e-5,intensity=10}

\small
Interferenzmuster fÃ¼r Licht der WellenlÃ¤nge
\qty{633}{nm}
hinter einem Einzelspalt
\end{center}

Das Paket \inter\ macht dies mÃ¶glich. UnterstÃ¼tzt werden nur monochromatisches Licht und regelmÃ¤ÃŸige Spaltanordnungen (Einzel-, Doppel- und Mehrfachspalte). Auch kÃ¶nnen bisher nur Interferenzstreifen dargestellt werden, wie sie bei vertikaler Aufweitung des Lichts entstehen, nicht die typischen â€žInterferenzkullerâ€œ, die von einem Laserstrahl erzeugt werden.

Das Paket unterliegt der
\emph{\LaTeX\ Project Public License},
Version 1.3 oder Nachfolgeversion.%
\footnote{\url{http://www.latex-project.org/lppl.txt}}

\newpage
\section{Verwendung}
Das Paket wird wie Ã¼blich geladen:
\begin{sourcecode}
  \usepackage{pgf-interference}
\end{sourcecode}
Damit wird indirekt auch das Paket \pakettikz{} geladen.

Das Ãœbersetzen von Dokumenten mit vielen Interferenzmustern kann aufgrund der nÃ¶tigen Berechnungen lange dauern. Daher gibt es einen Entwurfsmodus, in dem nur der Schirm, aber kein Interferenzmuster gezeichnet wird, was wesentlich schneller geht. Der Entwurfsmodus wird durch die Paketoption
\code{draft} aktiviert.
\begin{sourcecode}
  \usepackage[draft]{pgf-interference}
\end{sourcecode}

Das Paket \inter{} definiert zwei Befehle:
\begin{Befehlsliste}
\Befehlsbeschreibung{pgfinterferencepattern}{\marg{Optionen}}
Erzeugt ein Interferenzmuster. Das Argument ist eine kommaseparierte Optionenliste. Die verfÃ¼gbaren Optionen werden im Abschnitt \ref{Optionen} beschrieben.
\begin{example}
  \pgfinterferencepattern{slits=3,wavelength=590e-9,slit-distance=3e-5,intensity=2}
\end{example}
\Befehlsbeschreibung{pgfinterferenceoptions}{\marg{Optionen}}
Legt Optionen fest, ohne ein Interferenzmuster zu zeichnen.
\begin{sourcecode}
  \pgfinterferenceoptions{slit-width=1e-6,screen-distance=3.5,screen-width=0.15}
\end{sourcecode}
\end{Befehlsliste}

\newpage
\section{Optionen\label{Optionen}}
\pgfinterferenceoptions{screen-width=0.05,screen-height=0.015}
Alle LÃ¤ngen des Experiments wie die WellenlÃ¤nge, der Spaltabstand, die Schirmbreite usw. sind in Metern anzugeben, wobei die wissenschaftliche Schreibweise verwendet werden kann. Beispielsweise kann ein Spaltabstand von
\qty{0,1}{mm}
als
\code{0.0001}, \code{0.1e-3} oder \code{1e-4} eingegeben werden.\footnote{Die LÃ¤ngen werden intern als Gleitkommazahlen des \Paket{expl3}-Moduls \Paket{l3fp} behandelt, dessen Syntax daher auch fÃ¼r die Eingabe gilt.}

\subsection{Optionen fÃ¼r das Licht}
\begin{Befehlsliste}
\OptionsbeschreibungZahl{wavelength}{632.8e-9}
WellenlÃ¤nge des Lichts in \unit{m}. Die Voreinstellung entspricht der WellenlÃ¤nge des Helium-Neon-Lasers
(\qty{632,8}{nm}).
Aus der WellenlÃ¤nge ergibt sich nicht nur die Lage, sondern auch die Farbe der Interferenzmaxima, die mit Hilfe des Pakets \Paket{xcolor} ermittelt wird.

FÃ¼r WellenlÃ¤ngen auÃŸerhalb des sichtbaren Bereichs werden die Maxima schwarz dargestellt.\footnote{Nach dem Algorithmus des Pakets \Paket{xcolor} ist dies fÃ¼r WellenlÃ¤ngen unter
\qty{363}{nm}
und Ã¼ber
\qty{814}{nm} der Fall.}
Um solche Maxima sichtbar zu machen, sollte weiÃŸe Schirmfarbe eingestellt werden. Die grÃ¶ÃŸtmÃ¶gliche WellenlÃ¤nge ist
\qty{1}{m}.
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{wavelength=590e-9}
  \pgfinterferencepattern{wavelength=350e-9,screen-color=white}
\end{sidebyside}
\OptionsbeschreibungZahl{intensity}{1.0}
Relative IntensitÃ¤t des Lichts. Falls nicht alle erwarteten Maxima sichtbar sind, sollte der Wert vergrÃ¶ÃŸert werden.
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{slits=5}
  \pgfinterferencepattern{slits=5,intensity=6.5}
\end{sidebyside}
\end{Befehlsliste}

\subsection{Optionen fÃ¼r das Beugungsobjekt}
\begin{Befehlsliste}
\OptionsbeschreibungZahl{slits}{2}
Anzahl der Spalte
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{slits=3}
  \pgfinterferencepattern{slits=20}
\end{sidebyside}
\OptionsbeschreibungZahl{slit-distance}{1e-4}
Spaltabstand in m
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{slit-distance=2e-4}
  \pgfinterferencepattern{slit-distance=5e-5}
\end{sidebyside}
\OptionsbeschreibungZahl{slit-width}{1e-5}
Spaltbreite in m
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{slit-width=2e-5}
  \pgfinterferencepattern{slit-width=3.5e-5}
\end{sidebyside}
\end{Befehlsliste}

\subsection{Optionen fÃ¼r den Schirm}
\begin{Befehlsliste}
\OptionsbeschreibungZahl{screen-distance}{1.0}
Abstand des Schirms vom Beugungsobjekt in m
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{screen-distance=0.8}
  \pgfinterferencepattern{screen-distance=1.6}
\end{sidebyside}
\OptionsbeschreibungZahl{screen-width}{0.1}
Breite des Schirms in m
\OptionsbeschreibungZahl{screen-height}{0.03}
HÃ¶he des Schirms in m
\OptionsbeschreibungZahl{scale}{1.0}
Faktor, um den der Schirm in der Abbildung skaliert wird

Die MaÃŸe fÃ¼r Breite und HÃ¶he beziehen sich auf den realen Schirm. Die GrÃ¶ÃŸe des Schirms in der Abbildung hÃ¤ngt vom Wert der Option \option{scale} ab.
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{screen-width=0.06,screen-height=0.01}
  \pgfinterferencepattern{slits=10,slit-distance=2e-6,slit-width=2e-7,screen-width=2,screen-height=0.5,scale=0.03}
\end{sidebyside}
\Optionsbeschreibung{screen-color}{\meta{Farbe}}{black}
Farbe des Schirms. FÃ¼r die Farbe gilt die Syntax des \Paket{xcolor}-Pakets.
\begin{sidebyside}
  \pgfinterferencepattern{screen-color=yellow}
  \pgfinterferencepattern{screen-color=green!25!black}
\end{sidebyside}
\Optionsbeschreibung{ruler}{above,below,screen,none}{none}
Oberhalb oder unterhalb des Schirms kann ein Lineal mit Zentimeterskala angezeigt werden.

Mit \code{ruler=screen} dient das Lineal selbst als Schirm. In diesem Fall werden die Optionen \option{screen-height} und \option{screen-color} ignoriert.
\begin{example}
  \pgfinterferenceoptions{screen-width=0.135,screen-height=0.025}
  \pgfinterferencepattern{ruler=above}
  \pgfinterferencepattern{ruler=below,scale=0.8}
  \pgfinterferencepattern{ruler=screen}
\end{example}
\end{Befehlsliste}

\section{Physikalische Theorie}
FÃ¼r die IntensitÃ¤t des in Richtung $\varphi$ gebeugten Lichts hinter einem Mehrfachspalt geben die LehrbÃ¼cher (z.\,B. \cite{BS}, S. 373) folgende Formel an:
\begin{equation}
I(\varphi)\sim\frac{\sin^2\bigl(\frac{\pi\,b}{\lambda}\,\sin\varphi\bigr)}{\bigl(\frac{\pi\,b}{\lambda}\,\sin\varphi\bigr)^2}\cdot\frac{\sin^2\bigl(\frac{p\,\pi}{\lambda}\,s\,\sin\varphi\bigr)}{\sin^2\bigl(\frac{\pi}{\lambda}\,s\,\sin\varphi\bigr)}\label{Winkelabhaengigkeit}
\end{equation}
Dabei ist $b$ die Spaltbreite, $s$ der Spaltabstand und $p$ die Anzahl der Spalte.

Der erste Faktor beschreibt die IntensitÃ¤tsverteilung in Folge der Beugung am Einzelspalt, der zweite die Interferenz am idealen Mehrfachspalt (siehe Abb.
\ref{Intensitaetsverteilung}).
\begin{figure}
\centering
\begin{minipage}{13,4cm}
\raggedleft
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=0,ymax=1.2,xlabel=$\varphi$,ylabel=IntensitÃ¤t in Skt.,xtick={-2,...,2},xticklabels={\ang{-2},\ang{-1},\ang{0},\ang{1},\ang{2}},yticklabels=\empty,x=2.5cm,y=5.5cm]
\addplot[domain=-2.5:2.5,samples=500,blue] {(sin(180*3e-5/632.8e-9*sin(x)))^2/(pi*3e-5/632.8e-9*sin(x))^2};
\addplot[domain=-2.5:2.5,samples=700,green] {(sin(4*180/632.8e-9*1e-4*sin(x)))^2/(sin(180/632.8e-9*1e-4*sin(x)))^2/16};
\addplot[domain=-2.5:2.5,samples=700,thick,red] {(sin(180*3e-5/632.8e-9*sin(x)))^2/(pi*3e-5/632.8e-9*sin(x))^2*(sin(4*180/632.8e-9*1e-4*sin(x)))^2/(sin(180/632.8e-9*1e-4*sin(x)))^2/16};
\legend{Einzelspalt,idealer Vierfachspalt,realer Vierfachspalt}
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\medskip
\pgfinterferencepattern{slits=4,slit-width=3e-5,screen-distance=1.431,screen-width=0.125,screen-height=0.025,intensity=6}
\end{minipage}
\caption{IntensitÃ¤tsverteilung und Interferenzmuster fÃ¼r einen Vierfachspalt mit Spaltabstand
\qty{0,1}{mm}
und Spaltbreite
\qty{30}{\micro\m}
bei einer WellenlÃ¤nge von
\qty{632,8}{nm}\label{Intensitaetsverteilung}}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}[font=\small]
\draw[thick] (-3,5)--node[above] {Schirm} (3,5);
\draw (0,0) coordinate (O)--node[left] {$a$} (0,5) coordinate(A);
\draw (0,0)--node[right] {$e$} (2,5) coordinate (B);
\draw[dotted,thick] (-2,0)--node[below] {Beugungsobjekt} (2,0);
\path (A)--node[below] {$x$} (B);
\draw pic[draw,angle radius=1.4cm,pic text={$\varphi$}] {angle=B--O--A};
\end{tikzpicture}
\caption{Zusammenhang zwischen Beugungswinkel
$\varphi$
und Position
$x$
auf dem Schirm
\label{Dreieck}}
\end{figure}
FÃ¼r die Darstellung des Interferenzmusters benÃ¶tigen wir die IntensitÃ¤t in AbhÃ¤ngigkeit von der Position $x$ auf dem Schirm. Aus Abb. \ref{Dreieck} ergibt sich
\begin{equation}
\sin\varphi=\frac{x}{e}=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\label{Sinus}
\end{equation}
mit dem Schirmabstand $a$. Durch Einsetzen von
\eqref{Sinus}
in
\eqref{Winkelabhaengigkeit}
ergibt sich:
\[I(x)\sim\frac{\sin^2\left(\frac{\pi\,b\,x}{\lambda\,\sqrt{a^2+x^2}}\right)}{\left(\frac{\pi\,b\,x}{\lambda\,\sqrt{a^2+x^2}}\right)^2}\cdot\frac{\sin^2\left(\frac{p\,\pi\,s\,x}{\lambda\,\sqrt{a^2+x^2}}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi\,s\,x}{\lambda\,\sqrt{a^2+x^2}}\right)}\]
Diese Formel ist die Grundlage fÃ¼r die Berechnung der Interferenzmuster.

UnberÃ¼cksichtigt bleibt die Verminderung der IntensitÃ¤t durch steigenden Abstand vom Beugungsobjekt mit steigendem $x$.

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{BS} Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 3: Optik, hrsg. von Heinrich Gobrecht, \textsuperscript{7}1978.
\end{thebibliography}

\end{document}
</pre></body></html>